Johann muss heute für 6 Fächer Hausaufgaben erledigen. Eine muss er zuerst erledigen, aufgrund einer Abgabe. Alle anderen Fächer mag er gleich viel und deren Reihenfolge ist beliebig.
Wie viele verschiedene Reihenfolgen kann Johann wählen, um seine Hausaufgaben zu machen?

a) 3025
b) 625
c) 720
d) 120

Gegeben ist folgender Graph:

Welche Funktion entspricht dem abgebildeten Graphen

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 3𝑥 + 2
b) 𝑓(𝑥) = −𝑥² − 3𝑥 + 2
c) 𝑓(𝑥) = -𝑥² − 3𝑥
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 3

Gegeben ist folgende Ableitung:

Wie lautet die Ursprungsfunktion dieser Ableitung?

Richtige Lösung: d) 120

Erklärung:
Hier liegt eine Verkettung (Permutation) vor. Um diese Verkettung von Möglichkeiten zu berechnen, muss man 𝑛! ausrechnen. Hier ist 𝑛 = 5 , da eine der 6 Hausaugaben definitiv am Anfang erledigt werden muss und so nur die Reihenfolge von den restlichen 5 Hausaufgaben variabel ist. Zu Beginn hat sie 5 mögliche Fächer, die sie als erstes erledigt werden können.
Danach gibt es 4 mögliche Fächer für die zweite Hausaufgabe und so weiter.

Die Berechnung sieht folgendermaßen aus:

5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120

120 ist die richtige Antwort.

Richtige Lösung: b) 𝑓(𝑥) = −𝑥² − 3𝑥 + 2

Erklärung:
Im Graphen ist zu erkennen, dass die Funktion einen Extrempunkt und keinen Wendepunkt hat. Somit kann 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 3 ausgeschlossen werden. Es liegt eine Parabel vor, daher muss der höchste Exponent x² sein.

Da die Parabel nach unten geöffnet ist, muss 𝑥² ein negatives Vorzeichen haben.

Da die Parabel unter anderem oberhalb der X-Achse verläuft, muss es 𝑓(𝑥) = −𝑥² − 3𝑥 + 2 sein. Denn bei 𝑓(𝑥) = −𝑥² − 3𝑥 würde der Graph die X-Achse nicht überschreiten.

Richtige Lösung: a)

Erklärung:

Um diese Aufgabe lösen zu können, musst Du neben der Kettenregel folgende Ableitungsregeln kennen:

Diese Aufgabe kann durch Ableiten oder Integration gelöst werden. Hier empfiehlt es sich eher zu integrieren.

• b) kann auf den ersten Blick ausgeschlossen werden, da es die zweite Ableitung der Funktion ist.
• c) kann ausgeschlossen werden, da sich ln und e gegenseitig aufheben:

• d) kann ausgeschlossen werden, da beim Ableiten hier die Produktregel angewendet werden müsste und dabei würde der ln so mindestens einmal in der Ableitung stehen, was er aber laut Aufgabenstellung nicht tut.

Rechnerisch wird diese Aufgabe folgendermaßen gelöst:

Wir sehen, dass im Zähler des Bruches die Ableitung des Terms im Nenner steht. Das ist typisch für eine abgeleitete Funktion, die im ln steht, da aufgrund der Kettenregel folgendermaßen gerechnet werden muss:

Demnach wissen wir, dass abgesehen vom e-Term folgendes gilt:

Nun noch der e-Term:

Die richtige Lösung ist demnach: